3.806 \(\int (d+e x)^2 (f+g x)^n (a+2 c d x+c e x^2) \, dx\)

Optimal. Leaf size=208 \[ -\frac{2 (e f-d g) (f+g x)^{n+2} \left (a e g^2+c \left (d^2 g^2-4 d e f g+2 e^2 f^2\right )\right )}{g^5 (n+2)}+\frac{e (f+g x)^{n+3} \left (a e g^2+c \left (5 d^2 g^2-12 d e f g+6 e^2 f^2\right )\right )}{g^5 (n+3)}+\frac{(e f-d g)^2 (f+g x)^{n+1} \left (a g^2+c f (e f-2 d g)\right )}{g^5 (n+1)}-\frac{4 c e^2 (e f-d g) (f+g x)^{n+4}}{g^5 (n+4)}+\frac{c e^3 (f+g x)^{n+5}}{g^5 (n+5)} \]

[Out]

((e*f - d*g)^2*(a*g^2 + c*f*(e*f - 2*d*g))*(f + g*x)^(1 + n))/(g^5*(1 + n)) - (2*(e*f - d*g)*(a*e*g^2 + c*(2*e
^2*f^2 - 4*d*e*f*g + d^2*g^2))*(f + g*x)^(2 + n))/(g^5*(2 + n)) + (e*(a*e*g^2 + c*(6*e^2*f^2 - 12*d*e*f*g + 5*
d^2*g^2))*(f + g*x)^(3 + n))/(g^5*(3 + n)) - (4*c*e^2*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(4 + n))/(g^5*(4 + n)) + (c*e^3*(f
+ g*x)^(5 + n))/(g^5*(5 + n))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.187682, antiderivative size = 208, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 28, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.036, Rules used = {947} \[ -\frac{2 (e f-d g) (f+g x)^{n+2} \left (a e g^2+c \left (d^2 g^2-4 d e f g+2 e^2 f^2\right )\right )}{g^5 (n+2)}+\frac{e (f+g x)^{n+3} \left (a e g^2+c \left (5 d^2 g^2-12 d e f g+6 e^2 f^2\right )\right )}{g^5 (n+3)}+\frac{(e f-d g)^2 (f+g x)^{n+1} \left (a g^2+c f (e f-2 d g)\right )}{g^5 (n+1)}-\frac{4 c e^2 (e f-d g) (f+g x)^{n+4}}{g^5 (n+4)}+\frac{c e^3 (f+g x)^{n+5}}{g^5 (n+5)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(d + e*x)^2*(f + g*x)^n*(a + 2*c*d*x + c*e*x^2),x]

[Out]

((e*f - d*g)^2*(a*g^2 + c*f*(e*f - 2*d*g))*(f + g*x)^(1 + n))/(g^5*(1 + n)) - (2*(e*f - d*g)*(a*e*g^2 + c*(2*e
^2*f^2 - 4*d*e*f*g + d^2*g^2))*(f + g*x)^(2 + n))/(g^5*(2 + n)) + (e*(a*e*g^2 + c*(6*e^2*f^2 - 12*d*e*f*g + 5*
d^2*g^2))*(f + g*x)^(3 + n))/(g^5*(3 + n)) - (4*c*e^2*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(4 + n))/(g^5*(4 + n)) + (c*e^3*(f
+ g*x)^(5 + n))/(g^5*(5 + n))

Rule 947

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :
> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &
& NeQ[e*f - d*g, 0] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[p, 0] && (IGtQ[m, 0] || (E
qQ[m, -2] && EqQ[p, 1] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]))

Rubi steps

\begin{align*} \int (d+e x)^2 (f+g x)^n \left (a+2 c d x+c e x^2\right ) \, dx &=\int \left (\frac{(e f-d g)^2 \left (a g^2+c f (e f-2 d g)\right ) (f+g x)^n}{g^4}+\frac{2 (e f-d g) \left (-a e g^2-c \left (2 e^2 f^2-4 d e f g+d^2 g^2\right )\right ) (f+g x)^{1+n}}{g^4}+\frac{e \left (a e g^2+c \left (6 e^2 f^2-12 d e f g+5 d^2 g^2\right )\right ) (f+g x)^{2+n}}{g^4}-\frac{4 c e^2 (e f-d g) (f+g x)^{3+n}}{g^4}+\frac{c e^3 (f+g x)^{4+n}}{g^4}\right ) \, dx\\ &=\frac{(e f-d g)^2 \left (a g^2+c f (e f-2 d g)\right ) (f+g x)^{1+n}}{g^5 (1+n)}-\frac{2 (e f-d g) \left (a e g^2+c \left (2 e^2 f^2-4 d e f g+d^2 g^2\right )\right ) (f+g x)^{2+n}}{g^5 (2+n)}+\frac{e \left (a e g^2+c \left (6 e^2 f^2-12 d e f g+5 d^2 g^2\right )\right ) (f+g x)^{3+n}}{g^5 (3+n)}-\frac{4 c e^2 (e f-d g) (f+g x)^{4+n}}{g^5 (4+n)}+\frac{c e^3 (f+g x)^{5+n}}{g^5 (5+n)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.213148, size = 187, normalized size = 0.9 \[ \frac{(f+g x)^{n+1} \left (\frac{e (f+g x)^2 \left (a e g^2+c \left (5 d^2 g^2-12 d e f g+6 e^2 f^2\right )\right )}{n+3}-\frac{2 (f+g x) (e f-d g) \left (a e g^2+c \left (d^2 g^2-4 d e f g+2 e^2 f^2\right )\right )}{n+2}+\frac{(e f-d g)^2 \left (a g^2+c f (e f-2 d g)\right )}{n+1}-\frac{4 c e^2 (f+g x)^3 (e f-d g)}{n+4}+\frac{c e^3 (f+g x)^4}{n+5}\right )}{g^5} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(d + e*x)^2*(f + g*x)^n*(a + 2*c*d*x + c*e*x^2),x]

[Out]

((f + g*x)^(1 + n)*(((e*f - d*g)^2*(a*g^2 + c*f*(e*f - 2*d*g)))/(1 + n) - (2*(e*f - d*g)*(a*e*g^2 + c*(2*e^2*f
^2 - 4*d*e*f*g + d^2*g^2))*(f + g*x))/(2 + n) + (e*(a*e*g^2 + c*(6*e^2*f^2 - 12*d*e*f*g + 5*d^2*g^2))*(f + g*x
)^2)/(3 + n) - (4*c*e^2*(e*f - d*g)*(f + g*x)^3)/(4 + n) + (c*e^3*(f + g*x)^4)/(5 + n)))/g^5

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.055, size = 1048, normalized size = 5. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((e*x+d)^2*(g*x+f)^n*(c*e*x^2+2*c*d*x+a),x)

[Out]

(g*x+f)^(1+n)*(c*e^3*g^4*n^4*x^4+4*c*d*e^2*g^4*n^4*x^3+10*c*e^3*g^4*n^3*x^4+5*c*d^2*e*g^4*n^4*x^2+44*c*d*e^2*g
^4*n^3*x^3-4*c*e^3*f*g^3*n^3*x^3+35*c*e^3*g^4*n^2*x^4+a*e^2*g^4*n^4*x^2+2*c*d^3*g^4*n^4*x+60*c*d^2*e*g^4*n^3*x
^2-12*c*d*e^2*f*g^3*n^3*x^2+164*c*d*e^2*g^4*n^2*x^3-24*c*e^3*f*g^3*n^2*x^3+50*c*e^3*g^4*n*x^4+2*a*d*e*g^4*n^4*
x+12*a*e^2*g^4*n^3*x^2+26*c*d^3*g^4*n^3*x-10*c*d^2*e*f*g^3*n^3*x+245*c*d^2*e*g^4*n^2*x^2-96*c*d*e^2*f*g^3*n^2*
x^2+244*c*d*e^2*g^4*n*x^3+12*c*e^3*f^2*g^2*n^2*x^2-44*c*e^3*f*g^3*n*x^3+24*c*e^3*g^4*x^4+a*d^2*g^4*n^4+26*a*d*
e*g^4*n^3*x-2*a*e^2*f*g^3*n^3*x+49*a*e^2*g^4*n^2*x^2-2*c*d^3*f*g^3*n^3+118*c*d^3*g^4*n^2*x-100*c*d^2*e*f*g^3*n
^2*x+390*c*d^2*e*g^4*n*x^2+24*c*d*e^2*f^2*g^2*n^2*x-204*c*d*e^2*f*g^3*n*x^2+120*c*d*e^2*g^4*x^3+36*c*e^3*f^2*g
^2*n*x^2-24*c*e^3*f*g^3*x^3+14*a*d^2*g^4*n^3-2*a*d*e*f*g^3*n^3+118*a*d*e*g^4*n^2*x-20*a*e^2*f*g^3*n^2*x+78*a*e
^2*g^4*n*x^2-24*c*d^3*f*g^3*n^2+214*c*d^3*g^4*n*x+10*c*d^2*e*f^2*g^2*n^2-290*c*d^2*e*f*g^3*n*x+200*c*d^2*e*g^4
*x^2+144*c*d*e^2*f^2*g^2*n*x-120*c*d*e^2*f*g^3*x^2-24*c*e^3*f^3*g*n*x+24*c*e^3*f^2*g^2*x^2+71*a*d^2*g^4*n^2-24
*a*d*e*f*g^3*n^2+214*a*d*e*g^4*n*x+2*a*e^2*f^2*g^2*n^2-58*a*e^2*f*g^3*n*x+40*a*e^2*g^4*x^2-94*c*d^3*f*g^3*n+12
0*c*d^3*g^4*x+90*c*d^2*e*f^2*g^2*n-200*c*d^2*e*f*g^3*x-24*c*d*e^2*f^3*g*n+120*c*d*e^2*f^2*g^2*x-24*c*e^3*f^3*g
*x+154*a*d^2*g^4*n-94*a*d*e*f*g^3*n+120*a*d*e*g^4*x+18*a*e^2*f^2*g^2*n-40*a*e^2*f*g^3*x-120*c*d^3*f*g^3+200*c*
d^2*e*f^2*g^2-120*c*d*e^2*f^3*g+24*c*e^3*f^4+120*a*d^2*g^4-120*a*d*e*f*g^3+40*a*e^2*f^2*g^2)/g^5/(n^5+15*n^4+8
5*n^3+225*n^2+274*n+120)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x+d)^2*(g*x+f)^n*(c*e*x^2+2*c*d*x+a),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 1.98973, size = 2392, normalized size = 11.5 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x+d)^2*(g*x+f)^n*(c*e*x^2+2*c*d*x+a),x, algorithm="fricas")

[Out]

(a*d^2*f*g^4*n^4 + 24*c*e^3*f^5 - 120*c*d*e^2*f^4*g + 120*a*d^2*f*g^4 + 40*(5*c*d^2*e + a*e^2)*f^3*g^2 - 120*(
c*d^3 + a*d*e)*f^2*g^3 + (c*e^3*g^5*n^4 + 10*c*e^3*g^5*n^3 + 35*c*e^3*g^5*n^2 + 50*c*e^3*g^5*n + 24*c*e^3*g^5)
*x^5 + (120*c*d*e^2*g^5 + (c*e^3*f*g^4 + 4*c*d*e^2*g^5)*n^4 + 2*(3*c*e^3*f*g^4 + 22*c*d*e^2*g^5)*n^3 + (11*c*e
^3*f*g^4 + 164*c*d*e^2*g^5)*n^2 + 2*(3*c*e^3*f*g^4 + 122*c*d*e^2*g^5)*n)*x^4 + 2*(7*a*d^2*f*g^4 - (c*d^3 + a*d
*e)*f^2*g^3)*n^3 + (40*(5*c*d^2*e + a*e^2)*g^5 + (4*c*d*e^2*f*g^4 + (5*c*d^2*e + a*e^2)*g^5)*n^4 - 4*(c*e^3*f^
2*g^3 - 8*c*d*e^2*f*g^4 - 3*(5*c*d^2*e + a*e^2)*g^5)*n^3 - (12*c*e^3*f^2*g^3 - 68*c*d*e^2*f*g^4 - 49*(5*c*d^2*
e + a*e^2)*g^5)*n^2 - 2*(4*c*e^3*f^2*g^3 - 20*c*d*e^2*f*g^4 - 39*(5*c*d^2*e + a*e^2)*g^5)*n)*x^3 + (71*a*d^2*f
*g^4 + 2*(5*c*d^2*e + a*e^2)*f^3*g^2 - 24*(c*d^3 + a*d*e)*f^2*g^3)*n^2 + (120*(c*d^3 + a*d*e)*g^5 + ((5*c*d^2*
e + a*e^2)*f*g^4 + 2*(c*d^3 + a*d*e)*g^5)*n^4 - 2*(6*c*d*e^2*f^2*g^3 - 5*(5*c*d^2*e + a*e^2)*f*g^4 - 13*(c*d^3
+ a*d*e)*g^5)*n^3 + (12*c*e^3*f^3*g^2 - 72*c*d*e^2*f^2*g^3 + 29*(5*c*d^2*e + a*e^2)*f*g^4 + 118*(c*d^3 + a*d*
e)*g^5)*n^2 + 2*(6*c*e^3*f^3*g^2 - 30*c*d*e^2*f^2*g^3 + 10*(5*c*d^2*e + a*e^2)*f*g^4 + 107*(c*d^3 + a*d*e)*g^5
)*n)*x^2 - 2*(12*c*d*e^2*f^4*g - 77*a*d^2*f*g^4 - 9*(5*c*d^2*e + a*e^2)*f^3*g^2 + 47*(c*d^3 + a*d*e)*f^2*g^3)*
n + (120*a*d^2*g^5 + (a*d^2*g^5 + 2*(c*d^3 + a*d*e)*f*g^4)*n^4 + 2*(7*a*d^2*g^5 - (5*c*d^2*e + a*e^2)*f^2*g^3
+ 12*(c*d^3 + a*d*e)*f*g^4)*n^3 + (24*c*d*e^2*f^3*g^2 + 71*a*d^2*g^5 - 18*(5*c*d^2*e + a*e^2)*f^2*g^3 + 94*(c*
d^3 + a*d*e)*f*g^4)*n^2 - 2*(12*c*e^3*f^4*g - 60*c*d*e^2*f^3*g^2 - 77*a*d^2*g^5 + 20*(5*c*d^2*e + a*e^2)*f^2*g
^3 - 60*(c*d^3 + a*d*e)*f*g^4)*n)*x)*(g*x + f)^n/(g^5*n^5 + 15*g^5*n^4 + 85*g^5*n^3 + 225*g^5*n^2 + 274*g^5*n
+ 120*g^5)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 25.9905, size = 11628, normalized size = 55.9 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x+d)**2*(g*x+f)**n*(c*e*x**2+2*c*d*x+a),x)

[Out]

Piecewise((f**n*(a*d**2*x + a*d*e*x**2 + a*e**2*x**3/3 + c*d**3*x**2 + 5*c*d**2*e*x**3/3 + c*d*e**2*x**4 + c*e
**3*x**5/5), Eq(g, 0)), (-3*a*d**2*f**2*g**4/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**3*g**8
*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) - 2*a*d*e*f**3*g**3/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**3*g*
*8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) - 8*a*d*e*f**2*g**4*x/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**
3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) + 4*a*e**2*f*g**5*x**3/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 + 4
8*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) + a*e**2*g**6*x**4/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 +
48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) - 2*c*d**3*f**3*g**3/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2
+ 48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) - 8*c*d**3*f**2*g**4*x/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7
*x**2 + 48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) + 20*c*d**2*e*f*g**5*x**3/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f
**4*g**7*x**2 + 48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) + 5*c*d**2*e*g**6*x**4/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x +
72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) + 12*c*d*e**2*f*g**5*x**4/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*
g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) + 12*c*e**3*f**6*log(f/g + x)/(12*f**6*g**
5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) + 7*c*e**3*f**6/(12*f**6*g**5
+ 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) + 48*c*e**3*f**5*g*x*log(f/g + x
)/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) + 16*c*e**3*f**5
*g*x/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) + 72*c*e**3*f
**4*g**2*x**2*log(f/g + x)/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g*
*9*x**4) + 48*c*e**3*f**3*g**3*x**3*log(f/g + x)/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**3*
g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) - 24*c*e**3*f**3*g**3*x**3/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 +
48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) + 12*c*e**3*f**2*g**4*x**4*log(f/g + x)/(12*f**6*g**5 + 48*f**5*g**6*x
+ 72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4) - 18*c*e**3*f**2*g**4*x**4/(12*f**6*g**5 + 48*f*
*5*g**6*x + 72*f**4*g**7*x**2 + 48*f**3*g**8*x**3 + 12*f**2*g**9*x**4), Eq(n, -5)), (-a*d**2*f*g**4/(3*f**4*g*
*5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) - a*d*e*f**2*g**3/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2
*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) - 3*a*d*e*f*g**4*x/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3
) + a*e**2*g**5*x**3/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) - c*d**3*f**2*g**3/(3*f*
*4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) - 3*c*d**3*f*g**4*x/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x +
9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) + 5*c*d**2*e*g**5*x**3/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*
f*g**8*x**3) + 12*c*d*e**2*f**4*g*log(f/g + x)/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3
) + 10*c*d*e**2*f**4*g/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) + 36*c*d*e**2*f**3*g**
2*x*log(f/g + x)/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) + 18*c*d*e**2*f**3*g**2*x/(3
*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) + 36*c*d*e**2*f**2*g**3*x**2*log(f/g + x)/(3*f*
*4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) + 12*c*d*e**2*f*g**4*x**3*log(f/g + x)/(3*f**4*g**
5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) - 12*c*d*e**2*f*g**4*x**3/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x +
9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) - 12*c*e**3*f**5*log(f/g + x)/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x*
*2 + 3*f*g**8*x**3) - 10*c*e**3*f**5/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) - 36*c*e
**3*f**4*g*x*log(f/g + x)/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) - 18*c*e**3*f**4*g*
x/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) - 36*c*e**3*f**3*g**2*x**2*log(f/g + x)/(3*
f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) - 12*c*e**3*f**2*g**3*x**3*log(f/g + x)/(3*f**4*
g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) + 12*c*e**3*f**2*g**3*x**3/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6
*x + 9*f**2*g**7*x**2 + 3*f*g**8*x**3) + 3*c*e**3*f*g**4*x**4/(3*f**4*g**5 + 9*f**3*g**6*x + 9*f**2*g**7*x**2
+ 3*f*g**8*x**3), Eq(n, -4)), (-a*d**2*g**4/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) - 2*a*d*e*f*g**3/(2*f**2*
g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) - 4*a*d*e*g**4*x/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + 2*a*e**2*f**2*g**
2*log(f/g + x)/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + 3*a*e**2*f**2*g**2/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**
7*x**2) + 4*a*e**2*f*g**3*x*log(f/g + x)/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + 4*a*e**2*f*g**3*x/(2*f**2*
g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + 2*a*e**2*g**4*x**2*log(f/g + x)/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) -
2*c*d**3*f*g**3/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) - 4*c*d**3*g**4*x/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*
x**2) + 10*c*d**2*e*f**2*g**2*log(f/g + x)/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + 15*c*d**2*e*f**2*g**2/(2
*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + 20*c*d**2*e*f*g**3*x*log(f/g + x)/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*
x**2) + 20*c*d**2*e*f*g**3*x/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + 10*c*d**2*e*g**4*x**2*log(f/g + x)/(2*
f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) - 24*c*d*e**2*f**3*g*log(f/g + x)/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**
2) - 36*c*d*e**2*f**3*g/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) - 48*c*d*e**2*f**2*g**2*x*log(f/g + x)/(2*f**
2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) - 48*c*d*e**2*f**2*g**2*x/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) - 24*c*d
*e**2*f*g**3*x**2*log(f/g + x)/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + 8*c*d*e**2*g**4*x**3/(2*f**2*g**5 +
4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + 12*c*e**3*f**4*log(f/g + x)/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + 18*c*e**3*f
**4/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + 24*c*e**3*f**3*g*x*log(f/g + x)/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g
**7*x**2) + 24*c*e**3*f**3*g*x/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + 12*c*e**3*f**2*g**2*x**2*log(f/g + x
)/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) - 4*c*e**3*f*g**3*x**3/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2) + c
*e**3*g**4*x**4/(2*f**2*g**5 + 4*f*g**6*x + 2*g**7*x**2), Eq(n, -3)), (-3*a*d**2*g**4/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) +
6*a*d*e*f*g**3*log(f/g + x)/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) + 6*a*d*e*f*g**3/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) + 6*a*d*e*g**4*x*log(
f/g + x)/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) - 6*a*e**2*f**2*g**2*log(f/g + x)/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) - 6*a*e**2*f**2*g**2/(3
*f*g**5 + 3*g**6*x) - 6*a*e**2*f*g**3*x*log(f/g + x)/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) + 3*a*e**2*g**4*x**2/(3*f*g**5 + 3*
g**6*x) + 6*c*d**3*f*g**3*log(f/g + x)/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) + 6*c*d**3*f*g**3/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) + 6*c*d**
3*g**4*x*log(f/g + x)/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) - 30*c*d**2*e*f**2*g**2*log(f/g + x)/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) - 30*c*
d**2*e*f**2*g**2/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) - 30*c*d**2*e*f*g**3*x*log(f/g + x)/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) + 15*c*d**2*e
*g**4*x**2/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) + 36*c*d*e**2*f**3*g*log(f/g + x)/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) + 36*c*d*e**2*f**3*g/
(3*f*g**5 + 3*g**6*x) + 36*c*d*e**2*f**2*g**2*x*log(f/g + x)/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) - 18*c*d*e**2*f*g**3*x**2/(
3*f*g**5 + 3*g**6*x) + 6*c*d*e**2*g**4*x**3/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) - 12*c*e**3*f**4*log(f/g + x)/(3*f*g**5 + 3*
g**6*x) - 12*c*e**3*f**4/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) - 12*c*e**3*f**3*g*x*log(f/g + x)/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) + 6*c*e
**3*f**2*g**2*x**2/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) - 2*c*e**3*f*g**3*x**3/(3*f*g**5 + 3*g**6*x) + c*e**3*g**4*x**4/(3*f*
g**5 + 3*g**6*x), Eq(n, -2)), (a*d**2*log(f/g + x)/g - 2*a*d*e*f*log(f/g + x)/g**2 + 2*a*d*e*x/g + a*e**2*f**2
*log(f/g + x)/g**3 - a*e**2*f*x/g**2 + a*e**2*x**2/(2*g) - 2*c*d**3*f*log(f/g + x)/g**2 + 2*c*d**3*x/g + 5*c*d
**2*e*f**2*log(f/g + x)/g**3 - 5*c*d**2*e*f*x/g**2 + 5*c*d**2*e*x**2/(2*g) - 4*c*d*e**2*f**3*log(f/g + x)/g**4
+ 4*c*d*e**2*f**2*x/g**3 - 2*c*d*e**2*f*x**2/g**2 + 4*c*d*e**2*x**3/(3*g) + c*e**3*f**4*log(f/g + x)/g**5 - c
*e**3*f**3*x/g**4 + c*e**3*f**2*x**2/(2*g**3) - c*e**3*f*x**3/(3*g**2) + c*e**3*x**4/(4*g), Eq(n, -1)), (a*d**
2*f*g**4*n**4*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) +
14*a*d**2*f*g**4*n**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 12
0*g**5) + 71*a*d**2*f*g**4*n**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g*
*5*n + 120*g**5) + 154*a*d**2*f*g**4*n*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 +
274*g**5*n + 120*g**5) + 120*a*d**2*f*g**4*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n
**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + a*d**2*g**5*n**4*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*
g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 14*a*d**2*g**5*n**3*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n*
*3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 71*a*d**2*g**5*n**2*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 8
5*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 154*a*d**2*g**5*n*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n
**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 120*a*d**2*g**5*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g
**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 2*a*d*e*f**2*g**3*n**3*(f + g*x)**n/(g**5*n
**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 24*a*d*e*f**2*g**3*n**2*(f + g*x)
**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 94*a*d*e*f**2*g**3*n*(
f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 120*a*d*e*f**2
*g**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 2*a*d*e
*f*g**4*n**4*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5)
+ 24*a*d*e*f*g**4*n**3*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n +
120*g**5) + 94*a*d*e*f*g**4*n**2*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274
*g**5*n + 120*g**5) + 120*a*d*e*f*g**4*n*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n*
*2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 2*a*d*e*g**5*n**4*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 2
25*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 26*a*d*e*g**5*n**3*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g*
*5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 118*a*d*e*g**5*n**2*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*
n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 214*a*d*e*g**5*n*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 +
15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 120*a*d*e*g**5*x**2*(f + g*x)**n/(g**5
*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 2*a*e**2*f**3*g**2*n**2*(f + g*
x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 18*a*e**2*f**3*g**2*
n*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 40*a*e**2*f
**3*g**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 2*a*
e**2*f**2*g**3*n**3*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120
*g**5) - 18*a*e**2*f**2*g**3*n**2*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 27
4*g**5*n + 120*g**5) - 40*a*e**2*f**2*g**3*n*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**
5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + a*e**2*f*g**4*n**4*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**
3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 10*a*e**2*f*g**4*n**3*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4
+ 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 29*a*e**2*f*g**4*n**2*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5
+ 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 20*a*e**2*f*g**4*n*x**2*(f + g*x)**n/
(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + a*e**2*g**5*n**4*x**3*(f +
g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 12*a*e**2*g**5*n*
*3*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 49*a*
e**2*g**5*n**2*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g
**5) + 78*a*e**2*g**5*n*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*
n + 120*g**5) + 40*a*e**2*g**5*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 27
4*g**5*n + 120*g**5) - 2*c*d**3*f**2*g**3*n**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**
5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 24*c*d**3*f**2*g**3*n**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n*
*3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 94*c*d**3*f**2*g**3*n*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 8
5*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 120*c*d**3*f**2*g**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*
n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 2*c*d**3*f*g**4*n**4*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5
+ 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 24*c*d**3*f*g**4*n**3*x*(f + g*x)**n/
(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 94*c*d**3*f*g**4*n**2*x*(f
+ g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 120*c*d**3*f*g*
*4*n*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 2*c*d*
*3*g**5*n**4*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**
5) + 26*c*d**3*g**5*n**3*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5
*n + 120*g**5) + 118*c*d**3*g**5*n**2*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n*
*2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 214*c*d**3*g**5*n*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 2
25*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 120*c*d**3*g**5*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*
n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 10*c*d**2*e*f**3*g**2*n**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n
**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 90*c*d**2*e*f**3*g**2*n*(f + g*x)**n/(g**5*n**5
+ 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 200*c*d**2*e*f**3*g**2*(f + g*x)**n/(
g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 10*c*d**2*e*f**2*g**3*n**3*
x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 90*c*d**2*e
*f**2*g**3*n**2*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**
5) - 200*c*d**2*e*f**2*g**3*n*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g*
*5*n + 120*g**5) + 5*c*d**2*e*f*g**4*n**4*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**
5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 50*c*d**2*e*f*g**4*n**3*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**
5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 145*c*d**2*e*f*g**4*n**2*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g
**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 100*c*d**2*e*f*g**4*n*x**2*(f + g*x)**n/(g*
*5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 5*c*d**2*e*g**5*n**4*x**3*(f
+ g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 60*c*d**2*e*g**5
*n**3*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 24
5*c*d**2*e*g**5*n**2*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n +
120*g**5) + 390*c*d**2*e*g**5*n*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 +
274*g**5*n + 120*g**5) + 200*c*d**2*e*g**5*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g*
*5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 24*c*d*e**2*f**4*g*n*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3
+ 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 120*c*d*e**2*f**4*g*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**
5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 24*c*d*e**2*f**3*g**2*n**2*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g*
*5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 120*c*d*e**2*f**3*g**2*n*x*(f + g*x)**n/(g**
5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 12*c*d*e**2*f**2*g**3*n**3*x**
2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 72*c*d*e**2
*f**2*g**3*n**2*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*
g**5) - 60*c*d*e**2*f**2*g**3*n*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 2
74*g**5*n + 120*g**5) + 4*c*d*e**2*f*g**4*n**4*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 22
5*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 32*c*d*e**2*f*g**4*n**3*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 8
5*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 68*c*d*e**2*f*g**4*n**2*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 +
15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 40*c*d*e**2*f*g**4*n*x**3*(f + g*x)**n/
(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 4*c*d*e**2*g**5*n**4*x**4*
(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 44*c*d*e**2*g
**5*n**3*x**4*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) +
164*c*d*e**2*g**5*n**2*x**4*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*
n + 120*g**5) + 244*c*d*e**2*g**5*n*x**4*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2
+ 274*g**5*n + 120*g**5) + 120*c*d*e**2*g**5*x**4*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225
*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 24*c*e**3*f**5*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 2
25*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 24*c*e**3*f**4*g*n*x*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*
n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 12*c*e**3*f**3*g**2*n**2*x**2*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**
5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 12*c*e**3*f**3*g**2*n*x**2*(f + g*x)**n/(g**5
*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 4*c*e**3*f**2*g**3*n**3*x**3*(f
+ g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) - 12*c*e**3*f**2*
g**3*n**2*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5)
- 8*c*e**3*f**2*g**3*n*x**3*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n
+ 120*g**5) + c*e**3*f*g**4*n**4*x**4*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 +
274*g**5*n + 120*g**5) + 6*c*e**3*f*g**4*n**3*x**4*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 22
5*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 11*c*e**3*f*g**4*n**2*x**4*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*
g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 6*c*e**3*f*g**4*n*x**4*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*
n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + c*e**3*g**5*n**4*x**5*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 +
15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 10*c*e**3*g**5*n**3*x**5*(f + g*x)**n/
(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 35*c*e**3*g**5*n**2*x**5*(
f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 50*c*e**3*g**5
*n*x**5*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5) + 24*c*
e**3*g**5*x**5*(f + g*x)**n/(g**5*n**5 + 15*g**5*n**4 + 85*g**5*n**3 + 225*g**5*n**2 + 274*g**5*n + 120*g**5),
True))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.50858, size = 2854, normalized size = 13.72 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x+d)^2*(g*x+f)^n*(c*e*x^2+2*c*d*x+a),x, algorithm="giac")

[Out]

((g*x + f)^n*c*g^5*n^4*x^5*e^3 + 4*(g*x + f)^n*c*d*g^5*n^4*x^4*e^2 + 5*(g*x + f)^n*c*d^2*g^5*n^4*x^3*e + 2*(g*
x + f)^n*c*d^3*g^5*n^4*x^2 + (g*x + f)^n*c*f*g^4*n^4*x^4*e^3 + 10*(g*x + f)^n*c*g^5*n^3*x^5*e^3 + 4*(g*x + f)^
n*c*d*f*g^4*n^4*x^3*e^2 + 44*(g*x + f)^n*c*d*g^5*n^3*x^4*e^2 + 5*(g*x + f)^n*c*d^2*f*g^4*n^4*x^2*e + 60*(g*x +
f)^n*c*d^2*g^5*n^3*x^3*e + 2*(g*x + f)^n*c*d^3*f*g^4*n^4*x + 26*(g*x + f)^n*c*d^3*g^5*n^3*x^2 + 6*(g*x + f)^n
*c*f*g^4*n^3*x^4*e^3 + 35*(g*x + f)^n*c*g^5*n^2*x^5*e^3 + 32*(g*x + f)^n*c*d*f*g^4*n^3*x^3*e^2 + (g*x + f)^n*a
*g^5*n^4*x^3*e^2 + 164*(g*x + f)^n*c*d*g^5*n^2*x^4*e^2 + 50*(g*x + f)^n*c*d^2*f*g^4*n^3*x^2*e + 2*(g*x + f)^n*
a*d*g^5*n^4*x^2*e + 245*(g*x + f)^n*c*d^2*g^5*n^2*x^3*e + 24*(g*x + f)^n*c*d^3*f*g^4*n^3*x + (g*x + f)^n*a*d^2
*g^5*n^4*x + 118*(g*x + f)^n*c*d^3*g^5*n^2*x^2 - 4*(g*x + f)^n*c*f^2*g^3*n^3*x^3*e^3 + 11*(g*x + f)^n*c*f*g^4*
n^2*x^4*e^3 + 50*(g*x + f)^n*c*g^5*n*x^5*e^3 - 12*(g*x + f)^n*c*d*f^2*g^3*n^3*x^2*e^2 + (g*x + f)^n*a*f*g^4*n^
4*x^2*e^2 + 68*(g*x + f)^n*c*d*f*g^4*n^2*x^3*e^2 + 12*(g*x + f)^n*a*g^5*n^3*x^3*e^2 + 244*(g*x + f)^n*c*d*g^5*
n*x^4*e^2 - 10*(g*x + f)^n*c*d^2*f^2*g^3*n^3*x*e + 2*(g*x + f)^n*a*d*f*g^4*n^4*x*e + 145*(g*x + f)^n*c*d^2*f*g
^4*n^2*x^2*e + 26*(g*x + f)^n*a*d*g^5*n^3*x^2*e + 390*(g*x + f)^n*c*d^2*g^5*n*x^3*e - 2*(g*x + f)^n*c*d^3*f^2*
g^3*n^3 + (g*x + f)^n*a*d^2*f*g^4*n^4 + 94*(g*x + f)^n*c*d^3*f*g^4*n^2*x + 14*(g*x + f)^n*a*d^2*g^5*n^3*x + 21
4*(g*x + f)^n*c*d^3*g^5*n*x^2 - 12*(g*x + f)^n*c*f^2*g^3*n^2*x^3*e^3 + 6*(g*x + f)^n*c*f*g^4*n*x^4*e^3 + 24*(g
*x + f)^n*c*g^5*x^5*e^3 - 72*(g*x + f)^n*c*d*f^2*g^3*n^2*x^2*e^2 + 10*(g*x + f)^n*a*f*g^4*n^3*x^2*e^2 + 40*(g*
x + f)^n*c*d*f*g^4*n*x^3*e^2 + 49*(g*x + f)^n*a*g^5*n^2*x^3*e^2 + 120*(g*x + f)^n*c*d*g^5*x^4*e^2 - 90*(g*x +
f)^n*c*d^2*f^2*g^3*n^2*x*e + 24*(g*x + f)^n*a*d*f*g^4*n^3*x*e + 100*(g*x + f)^n*c*d^2*f*g^4*n*x^2*e + 118*(g*x
+ f)^n*a*d*g^5*n^2*x^2*e + 200*(g*x + f)^n*c*d^2*g^5*x^3*e - 24*(g*x + f)^n*c*d^3*f^2*g^3*n^2 + 14*(g*x + f)^
n*a*d^2*f*g^4*n^3 + 120*(g*x + f)^n*c*d^3*f*g^4*n*x + 71*(g*x + f)^n*a*d^2*g^5*n^2*x + 120*(g*x + f)^n*c*d^3*g
^5*x^2 + 12*(g*x + f)^n*c*f^3*g^2*n^2*x^2*e^3 - 8*(g*x + f)^n*c*f^2*g^3*n*x^3*e^3 + 24*(g*x + f)^n*c*d*f^3*g^2
*n^2*x*e^2 - 2*(g*x + f)^n*a*f^2*g^3*n^3*x*e^2 - 60*(g*x + f)^n*c*d*f^2*g^3*n*x^2*e^2 + 29*(g*x + f)^n*a*f*g^4
*n^2*x^2*e^2 + 78*(g*x + f)^n*a*g^5*n*x^3*e^2 + 10*(g*x + f)^n*c*d^2*f^3*g^2*n^2*e - 2*(g*x + f)^n*a*d*f^2*g^3
*n^3*e - 200*(g*x + f)^n*c*d^2*f^2*g^3*n*x*e + 94*(g*x + f)^n*a*d*f*g^4*n^2*x*e + 214*(g*x + f)^n*a*d*g^5*n*x^
2*e - 94*(g*x + f)^n*c*d^3*f^2*g^3*n + 71*(g*x + f)^n*a*d^2*f*g^4*n^2 + 154*(g*x + f)^n*a*d^2*g^5*n*x + 12*(g*
x + f)^n*c*f^3*g^2*n*x^2*e^3 + 120*(g*x + f)^n*c*d*f^3*g^2*n*x*e^2 - 18*(g*x + f)^n*a*f^2*g^3*n^2*x*e^2 + 20*(
g*x + f)^n*a*f*g^4*n*x^2*e^2 + 40*(g*x + f)^n*a*g^5*x^3*e^2 + 90*(g*x + f)^n*c*d^2*f^3*g^2*n*e - 24*(g*x + f)^
n*a*d*f^2*g^3*n^2*e + 120*(g*x + f)^n*a*d*f*g^4*n*x*e + 120*(g*x + f)^n*a*d*g^5*x^2*e - 120*(g*x + f)^n*c*d^3*
f^2*g^3 + 154*(g*x + f)^n*a*d^2*f*g^4*n + 120*(g*x + f)^n*a*d^2*g^5*x - 24*(g*x + f)^n*c*f^4*g*n*x*e^3 - 24*(g
*x + f)^n*c*d*f^4*g*n*e^2 + 2*(g*x + f)^n*a*f^3*g^2*n^2*e^2 - 40*(g*x + f)^n*a*f^2*g^3*n*x*e^2 + 200*(g*x + f)
^n*c*d^2*f^3*g^2*e - 94*(g*x + f)^n*a*d*f^2*g^3*n*e + 120*(g*x + f)^n*a*d^2*f*g^4 - 120*(g*x + f)^n*c*d*f^4*g*
e^2 + 18*(g*x + f)^n*a*f^3*g^2*n*e^2 - 120*(g*x + f)^n*a*d*f^2*g^3*e + 24*(g*x + f)^n*c*f^5*e^3 + 40*(g*x + f)
^n*a*f^3*g^2*e^2)/(g^5*n^5 + 15*g^5*n^4 + 85*g^5*n^3 + 225*g^5*n^2 + 274*g^5*n + 120*g^5)